Okul Rehberi Artık Cepte Heryerde !

Telefonunzdaki barkod okuyucuya okutun ve yer imlerine kaydedin :)

Rasyonel Sayılarda Toplama Çıkarma İşlemi Soruları

1-   

2-

3-

4-

5-

Rasyonel Sayılarla Çarpma İşlemi

BU KONUDA ÖĞRENECEKLERİMİZ - Çarpma İşlemi - Çarpma İşlemini Modelleme - 0, 1 ve -1'in Etkisi - Değişme Özelliği - Birleşme Özelliği - Dağılma Özelliği - Etkisiz Eleman - Yutan Eleman - Ters Eleman                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                 RASYONEL SAYILARDA ÇARPMA İŞLEMİ  Rasyonel sayılarda çarpma işlemi yaparken tam sayılarda çarpmada öğrendiklerimizi ve kesirlerde çarpmada öğrendiklerimizi kullanacağız. Kesirlerde öğrendiğimizin üzerine negatif sayılarla işlem yapmayı da öğreneceğiz.  Rasyonel sayılarda çarpma işlemi şunlara dikkat edilir: - Çarpılan sayılarda tam sayılı kesir varsa bileşik kesre çevrilir. - Çarpılan sayılarda tam sayı varsa paydasına 1 yazılır. - Varsa sadeleştirme yapılır. Sadeleştirme yaparken çarpılan sayılarda paydaki herhangi bir sayı ile paydadaki herhangi bir sayı sadeleştirilebilir. Gelelim İşleme: - Çarpanlardaki paylar çarpılıp sonucun payına, paydalar çarpılıp sonucun paydasına yazılır. Şimdi bir kaç örnek yapalım. Bu örnekte tam sayılı kesri bileşik kesre çevirmeyi unutmuyoruz. Bu örnekte -5'in altına 1 yazıyoruz ki işlemlerde hata yapmayalım.  Bu örnekte de sadeleştirme yapabiliyoruz. Üstteki herhangi bir sayı ile alttaki herhangi bir sayı. Tabi hepsi çarpma ise işlemlerin. Yazar: www.matematikciler.org    RASYONEL SAYILARDA ÇARPMA İŞLEMİNDE MODELLEME Modelleme yapılırken çarpılan iki kesirden biri yatay biri dikey olarak ayrı ayrı modellenir ve üst üste konulur. İki renge de boyanmış küçük dikdörtgenlerin sayısının bütün dikdörtgenlere oranı da cevap olur. Örnekte olduğu gibi mor renkler çakışan renkler pay, bütün dikdörtgenler de payda oluyor.   Değişme Özelliği: Çarpılan sayıların yeri değişse de işlemin sonucu değişmediği için rasyonel sayılarda çarpma işleminin değişme özelliği vardır.   Birleşme Özelliği: İkiden fazla sayı çarpılırken parantez koyup önce iki tanesini çarpıp sonuçla diğerini çarpmak sonucu değiştirmez. Buna birleşme özelliği denir.   Dağılma özelliği: Çarpma işlemini toplama ve çıkarma işlemi üzerine dağıtabiliriz.  Aşağıdaki örnekte çarpmanın toplama üzerine dağılma özelliğini göstereceksiniz. Aynı şekilde aradaki işlem çıkarma olursa çarpmayı çıkrama üzerine dağıtırız.   Yazar: www.matematikciler.org    Çarpma İşleminde 1'in Etkisi (Etkisiz Eleman) Bir sayıyı 1 ile çarparsak sonuç sayının kendisi olur. Bu yüzden "1" çarpma işleminin etkisiz elemanıdır.   Çarpma İşleminde 0'ın Etkisi (Yutan Eleman) Bir sayıyı sıfır ile çarparsak sonuç "0" olur. Bu yüzden "0" çarpma işleminin yutan elemanıdır.   Çarpma İşleminde - 1'in Etkisi Bir sayıyı -1 ile çarparsak sonuç o sayının toplama işlemine göre tersi olur.    Çarpma İşleminde Ters Eleman Çarpımları 1 olan iki rasyonel sayı çarpma işlemine göre birbirinin tersidir.  

Kaynak Linki : http://www.matematikciler.org/7-sinif/matematik-konu-anlatimlari/776-rasyonel-sayilarla-carpma-islemi-modelleme-carpmanin-ozellikleri-etkisiz-yutan-ters-eleman.html

RASYONEL SAYILAR

A bir tam sayı B sıfırdan farklı bir tam sayı olmak üzere A/B şeklinde yazılabilen sayılara rasyonel sayılar denir.Payda sıfır olursa tanımsız olur.Rasyonel sayılar Q sembolü ile gösterilir.

Her tam sayı aslında bir rasyonel sayıdır.Çünkü her tam sayının altında gizli 1 vardır.Bunu açığa çıkartınca sayı rasyonel sayıya dönüşür.

N: Doğal sayılar,      Z: Tam sayılar,      Q: Rasyonel sayılar 

3 kesrinde; 3’e pay4’e payda denir: 3 kesri “üç bölü dört” ya da “dörtte üç” diye okunur.

NOT:Sıfırdan büyük olan rasyonel sayılara pozitif rasyonel sayılar sıfırdan küçük rasyonel sayılar da negatif rasyonel sayılar denir.

Pozitif rasyonel sayılar kümesi “Q+”ile gösterilir. Negatif rasyonel sayılar kümesi”Q-“ile gösterilir.

Q = Q- U {0} U Q+

B)Rasyonel Sayıları Karşılaştırma (büyüklük küçüklük)
1-Paydaları eşit olan rasyonel sayılar:
Paydaları eşit olan pozitif rasyonel sayılarda payı büyük olan daha büyükpayı küçük olan daha küçüktür.

ÖR:15  7  3 3 7 15
20 20 20 20 20 20

Paydaları eşit olan negatif rasyonel sayılar pozitifin tam tersidir.Payı büyük olan negatif rasyonel sayılar küçükpayı küçük olan negatif rasyonel sayılar büyüktür.
ÖR:15  7  3 15 7 3 
20 20 20 20 20 20

2-Payları eşit olan rasyonel sayılar:
Payları eşit olan pozitif rasyonel sayılarda paydası küçük olan daha büyük paydası büyük olan daha küçüktür.

ÖR: 7  7  7 7 7 7
9 5 3 3 5 9

Payları eşit olan negatif rasyonel sayılar pozitifin tam tersidir.Paydası büyük olan negatif rasyonel sayılar büyük paydası küçük olan negatif rasyonel sayılar küçüktür.

3-Payı ve paydaları farklı olan rasyonel sayılar:
Payı ve paydaları farklı olan rasyonel sayılarda pay paydaya bölünerek sıralama yapılır.
ÖR: 18  7  48 18:3=6 48 7 18
3 4 57 7:4=175 57 4 3
48:57=084

Arada olma 
İki rasyonel sayı arasına bir yada birkaç rasyonel sayı yerleştirmeye denir.

I.YOL: 2 4 II:YOL:2 4 III.YOL: 1 2 4
3 5 3 5 2 3 5
2

1 2 4 1 10 12 1 22 22
2 3 5 2 15 15 2 15 30

ÖR: 5 ile 7 1 5 7 1 15 14
4 6 2 4 6 2 12 12

1 29 29
2 12 24

5 29 7
4 24 6
C-İrrasyonel sayılar:
Sayı doğrusu üzerinde görüntüsü olmasına karşınrasyonel olmayan
gibi sayılara irrasyonel sayılar denir.İrrasyonel sayıların oluşturduğu kümeye irrasyonel sayılar kümesi denir.
Gerçek (reel) sayılar kümesi:Rasyonel sayılar kümesi ile irrasyonel sayıların birleşim kümesine gerçek (reel) sayılar kümesi denir.Gerçek 
sayılar kümesi sayı ekseninin her noktasını doldurur.Sayı doğrusu üzerinde her noktaya bir gerçek sayı her gerçek sayıya da bir nokta karşılık gelir.
Gerçek sayılar kümesi”R” sembolü ile gösterilir.

2-RASYONEL SAYILARDA TOPLAMA İŞLEMİ

a)Aynı işaretli iki rasyonel sayının toplama işlemi
Aynı işaretli iki rasyonel sayının toplama işlemi yapılırken rasyonel sayıların paydaları eşit değilse paydalar eşitlenir.Payların mutlak değerleri toplamı paya yazılır.Ortak paydapaydaya yazılır.toplananların ortak işaretitoplama işaret olarak verilir.

Tam sayılı kesirler toplanırken bu kesirler bileşik kesre çevrilerek toplama işlemi yapılır.

b)Ters işaretli iki rasyonel sayının toplama işlemi
Ters işaretli iki rasyonel sayının toplama işlemi yapılırken rasyonel sayıların paydaları eşit değilse eşitlenir.payların mutlak değerleri farkı alınırpaya yazılır.Ortak payda paydaya yazılır.toplam olan rasyonel sayının işareti isemutlak değeri büyük olan rasyonel sayının işaretidir.

ÖR: 1 2 1 20 24 15
3 5 4 60 60 60

¤¤¤¤+24+(-15)
60

+44+(-15)
60

29
60

3-RASYONEL SAYILAR KÜMESİNDE TOPLAMA 
İŞLEMİNİN ÖZELLİKLERİ

a)Kapalılık özelliği:İki rasyonel sayının toplamı  yine bir rasyonel sayıdır.Yani rasyonel sayılar kümesi toplama işlemine göre kapalıdır.

b)Değişme özelliği:Rasyonel sayılar kümesindetoplama işleminin değişme özelliği vardır.

c)Birleşme özelliği:rasyonel sayılar kümesinde toplama işleminin birleşme özelliği vardır.

d)Etkisiz (birim) eleman özelliği:”0”tam sayısınarasyonel sayılar kümesinde toplama işleminin etkisiz (birim )elemanı denir.

e)Ters eleman özelliği:Toplamları “0”tam sayısına eşit olan iki rasyonel sayıya toplama işlemine göre birbirinin tersi denir.

4-RASYONEL SAYILARDA ÇIKARMA İŞLEMİ
İki rasyonel sayının farkı bulunurkeneksilen rasyonel sayıçıkan rasyonel sayının toplama işlemine göre tersi ile toplanır.

ÖR: +3 +1 +3 -1 +18 -5 +13
5 6 5 6 30 30 30

5-RASYONEL SAYILARDA ÇARPMA İŞLEMİ
İki rasyonel sayının çarpma işlemi payların çarpımı payapaydaların çarpımı paydaya yazılarak yapılır.

NOT:Aynı işaretli iki rasyonel sayının çarpımı pozitif  ters işaretli iki rasyonel sayının çarpımı ise negatif bir rasyonel sayıdır.
Yani: 
+ x + = +
- x – = +
- x + = -
+ x – = -

NOT:Tam sayılı kesir biçminde verilen rasyonel sayılar çarpılırken önce tam sayılı kesirler bileşik kesre çevrilir.Sonra çarpma işlemi yapılır.

6-RASYONEL SAYILAR KÜMESİNDE ÇARPMA 
İŞLEMİNİN ÖZELLİKLERİ
a)Kapalılık özelliği:
İki rasyonel sayının çarpımı yine bir rasyonel sayıdır.Yani rasyonel sayılar kümesi çarpma işlemine göre kapalıdır.

ÖR: +3 -2 -6
4 3 12

b)Değişme özelliği:
Rasyonel sayılar kümesinde çarpma işleminin değişme özelliği vardır.

ÖR: -19 -1 +19
20 3 60

-1 -19 -19
3 20 60

c)Birleşme özelliği:
Rasyonel sayılar kümesinde çarpma işleminin değişme özelliği vardır.
ÖR: +3 -2 +1 -6 +1 -6
1 3 5 3 5 15

+3 -2 +1 +3 -2 -6
1 3 5 1 15 15

d)Yutan eleman: 
Bir rasyonel sayının “0”sayısı ile çarpımı “0”dır.”0”sayısına çarpma işleminin yutan elemanı denir.

e)Etkisiz birim eleman:
+1 rasyonel sayısına çarpma işlemine göre etkisiz (birim) eleman denir.

f)Ters eleman:
Çarpımları +1 olan iki rasyonel sayıya çarpma işlemine göre tersi denir.

g)Çarpma işleminin toplama işlemi üzerine dağılma özelliği:
Rasyonel sayılar kümesinde  çarpma işleminin toplama işlemi üzerine dağılma özelliği vardır.

h)Çarpma işleminin çıkarma işlemi üzerine dağılma özelliği:
Rasyonel sayılar kümesinde  çarpma işleminin çıkarma işlemi üzerine dağılma özelliği vardır.

7-RASYONEL SAYILARDA BÖLME İŞLEMİ
İki rasyonel sayının bölme işlemi yapılırken bölünene rasyonel sayı  bölen rasyonel sayının çarpma işlemine göre tersi ile çarpılır.Elde edilen çarpım bölümü verir.
NOT:Aynı işaretli iki rasyonel sayının bölümü pozitif;ters işaretli ki rasyonel sayının bölümü ise negatif bir rasyonel sayıdır.

Yani: + x + = +
- x – = +
- x + = -
+ x – = -

ÖR: -3 +2 -3 +4 -3
4 4 4 2 2

· +1 tam sayısının  bir rasyonel sayıya bölünmesinden elde edilen bölümbölen rasyonel sayının çarpma işlemine göre tersine eşittir.

ÖR: -2 1 -7 -7
7 1 2 2
· (-1)tam sayısının bir rasyonel sayıya bölünmesinden elde edilen bölüm bölen rasyonel sayının çarpma işlemine göre tersinin ters işaretlisine eşittir.

· Bir rasyonel sayının  +1 tamsayısına bölünmesinden elde edilen bölüm  rasyonel sayının kendisine eşittir.
· Bir rasyonel sayının(-1) tamsayısına bölünmesinden elde edilen
bölüm  bölünen rasyonel sayının toplama işlemine göre tersine eşittir.

ÖR: -2 -2 1 -2 1 -2
7 7 1 7 1 7
ÖR: -2 -2 -1 -2 -1 2
7 7 1 7 1 7